一個可以作弄理財顧問的問題

這一個問題是一位理財顧問朋友轉述的，聽說是今周刊94年的一篇文章，我聽完後，也落入這個投資組合報酬率問題的陷阱，顯示要作弄你的理財顧問，即便是在他專業的領域，也並不困難，稍稍一點腦筋急轉彎，就可以整到你不夠小心的理財顧問。警醒每位理財顧問，要戒慎恐懼，小心計算，話不要說太快，寫太快。

故事是這樣子的，假設你有一位客戶有一筆一百萬元的長期投資組合，二十年前他將這個投資組合分為四分，每份25萬，其中第一個投資標的年報酬率10%，第二個投資標的年報酬率-10%，第三個投資標的年報酬率-15%，第四個投資標的年報酬率-25%，請問二十年過了後，整體投資組合是賺錢還賠錢？多數人(好吧沒拿計算機時我也錯了)都會以為這種類投資組合，一定賠錢。而這個結果剛好就是相反，這個投資組合最後還是賺錢，年化投資報酬率還約有2.75%。

[(1.1^20+0.9^20+0.85^20+0.75^20)/4]^(1/20) = 1.0275

這個故事除了可以拿來作弄理財顧問之外，還有甚麼啟發呢？這故事原本最正常的用法就是來告訴投資人複利的偉大，以鼓勵人盡早開始儲蓄與投資，這個第一個投資標的年報酬率10%，在持續20年後，即使只是原本1/4的部位，也能彌補其他部位虧損，讓整個投資組合變成獲利。

這種問題就像賭場機率與現實生活的機率之比較類似，賭場遊戲的機率可以很容易的計算出來，只要玩的次數夠多，結果會和賭場遊戲理論機率很接近，但是現實生活中的機率就沒這麼容易計算了。這個假想的問題最後報酬率很容易計算，但是真實的投資組合就沒這麼容易計算，也因此在假想的問題中獲得的結論，不見得能在現實中實現。

即使你相信了複利的偉大，接下來的問題就是這樣的投資組合可能存在嗎？哪裡找年複利10%的20年期政府公債，而且20年間隨時都能要求政府按全額贖回呢？這種理財工具不存在。顯然這個理想化的故事，並不存在真實世界中。之前我曾經舉過一個例子說明何以多數人相信複利的神奇，但是卻始終從來沒有得到過他以為的複利效果，關鍵就在報酬率的波動，真實世界的投資工具，多半報酬率都是每年不相同，有賺有虧，有大幅度的報酬率波動，特別是虧損的時期，會讓最後的累積年化報酬率相對於算術平均報酬率，有很大的缺口。

年複利10%持續20年期，終值會變成原本本金的6.72倍，但是若其中10年25%，另外10年-5%，則會變成5.57倍，兩者最後差距1.15倍的本金。這就是一般人相信了複利的偉大，卻始終得不到以為神奇效果的原因，因為他們看到的例子都是這種理想化的無波動率的高報酬率，這種東西根本不存在。要知道68%的機率你的報酬率會落在1個標準差範圍中，一個算數平均報酬率10%，但是報酬率標準差在15%的投資工具，10年中有6.8年報酬率高低會在25%與-5%之間，其他3.2年還可能在1個標準差範圍之外。這些波動的真實機率都會讓累計報酬率低於預期。更別說一般人在這波動過程中還會情緒受到影響而追高殺低。

另外一個值得注意的計算是如果定期定額在這個投資組合上，每年定期投資5萬元，平均四分，20年總投入100萬，則投資組合最後的淨值為104萬元。四分投資標的各投入25萬元，分別最後淨值約為80萬、11萬、8萬、5萬。

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