2008/01/09

Kelly’s Criterion凱利方程式加上讓隨機愚弄策略的下注法

先聲明賭博不是好事,而且多數的賭徒常常誇大自己的成功,掩飾不談自己的失敗,我的這篇文章很可能也受到我的少數經驗造成偏頗的結論,長期而言,在賭場賭博,賭客幾乎一定是破產的那一邊,只要賭的夠久、夠多次,賭場一定會贏賭客,賭客唯一的機會就是不戀棧,在偶爾獲勝的時候記得要停手。


今天在何嘉仁書店翻閱雜誌時,在本期的【Financial World 國際投資月刊】裏看到一篇編輯部寫的關於Kelly’s Criterion的文章,讓我想起凱利方程式(Kelly)這個觀念和昨天寫到機率與期望值決策方法似乎有互補之處,昨天在談到下注法時,各種賭注加倍下注法是希望利用賭注的變化來改變贏與輸的機率,讓長期的下注結果,可以變成高機率的小贏配低機率的大輸,資本越高時,大輸的機率就越低。凱利方程式的方式則是要在資本有限的狀況下,每次都相同下注額的情況下,選擇最適合的單次賭注,提高大贏的機率,並降低破產的機率,以極大化長期報酬。

賭注加倍法與反向賭注加倍法都會收到賭注上限的影響,而賭注加倍法的小贏大輸局面,在必須準備頗高的安全資金下,其實也顯得不夠有吸引力,期望報酬率並不高,而且還可能遇上萬一不幸地輸光。反向賭注加倍法則幾乎大多時候都會輸,和樂透的感覺比較像,必須等到低機率的連續有利時才會大贏,贏的機率太偏低,也太極端。賭注加倍法與反向賭注加倍法通常都會選擇不利度最低,最公平的方式來賭,例如賭單雙或賭紅色黑色。你有沒有想過這個問題,為何賭場要故意將這種1賠1的賭法設計成不利度最低呢?難道不是因為賭場明知多數人都會選擇不利度最低的賭法來賭,而且賭場知道,鼓勵這個賭法其實是最能讓賭場長期穩健獲利的方法。還是你以為這是不小心設計的。

基本上如果理性地用期望值方式判斷,根本就不該在賭場賭博,因為機率乘以賠率的期望值,永遠都是低於賭注,例如只有一個0的輪盤,賭一個數字的賠率為35,但是有利機率為1/37,所以期望值是(1+35)/37,低於所投入的1份賭注,莊家的有利程度是2.7%,任何時候一個理性的人都不該下注,因為這不是公平的賭局。而我之前提到的讓隨機愚弄的方式,就是設法想在一些不公平的賭局中做選擇,由於不論哪種賭法都是莊家有利,應該要選擇波動性較高的賭法,也就是選擇每承擔一個單位的不利程度,能得到最高賠率的賭法,也許可以比照SHARPE RATIO夏普指數,稱為PJHUANG指數(PJHUANG指數=賠率/莊家勝算)。各種賭法中以單押一個數字的輪盤,承擔2.7%的不利,卻得到35倍的賠率為最佳。賭單雙則是承擔1.35%的不利,卻只得到1倍的賠率。所以針對讓隨機愚弄的機會(糊裡糊塗出現連勝贏錢的機會),單押一個數字遠比賭單雙好的多。

一般而言,凱利方程式Kelly’s Criterion是應該用在有利的賭局中,例如60%的勝率,一賠一的賭局,則每次應該下注開始所有資本的60%-(40%/1)=20%。將凱利方程式Kelly’s Criterion套到單押一個數字的輪盤,則賭注應該是1/37-((36/37)/35)=-0.08%,負值表示根本不該賭。這表示以真實的勝率來看,凱利方程式告訴我們別賭。如果不得已非賭不可,則只好假裝自己勝率高於真實來推算,若假設你當天短期間的勝率比真實的勝率高一倍,則凱利方程式告訴我們你的賭注應該是資金的2.7%= (2/37)-((35/37)/35)。若是假設你的勝率比真實的勝率高兩倍,則凱利方程式告訴我們你的賭注應該是資金的5.48% = (3/37)-((34/37)/35)。之前的讓隨機愚弄的策略則是選擇了資金的5%,相當於勝率比真實的勝率高1.83倍,這應該算是為我自己想的「讓隨機愚弄策略」找到了一個理論根據。(旁邊有個聲音在說:「你會不會太無聊了,讓隨機愚弄還要啥理論根據?」)
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關於作者:認證理財顧問黃柏仁,致力於上班族之理財規劃服務,按這裡到上班族投資理財部落格閱讀更多文章
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